II вариант. 4*. В треугольнике MNK O — точка пересечения медиан; MN = x; MK = y; MO = k · (x + y). Найдите число k.

Пусть Q — середина NK. Тогда \(\overrightarrow{MQ}=\frac12(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK})=\frac12(\vec x+\vec y)\). Точка пересечения медиан делит медиану MQ в отношении \(2:1\), считая от вершины M.

Значит, \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MQ}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\). Сравнивая с заданным равенством, получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).