III уровень, 4. Сторона ромба равна 8 см, а один из его углов — 120°. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов.
2. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Угол между сторонами равен 120°, поэтому по теореме косинусов \(d^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cos120^\circ=192\).
3. Получаем \(d=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\) см? Эта диагональ соответствует углу 120° между сторонами и является большей. Меньшая диагональ соответствует острому углу 60°: \(d^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cos60^\circ=64\), значит \(d=8\) см.

Ответ: 8 см.