III вариант, 5. Докажите справедливость неравенств: а) \(x^2+y^2-6x+4y+13\ge0\); б) \(x^4+13x^2-6x+6>0\); в) \(x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}\).

а) Выделим полные квадраты: \(x^2+y^2-6x+4y+13=(x-3)^2+(y+2)^2\). Сумма квадратов неотрицательна.

б) Представим выражение как сумму неотрицательных слагаемых: \(x^4+13x^2-6x+6=x^4+10x^2+3(x-1)^2+3\). Здесь \(x^4\ge0\), \(10x^2\ge0\), \(3(x-1)^2\ge0\), а последнее слагаемое равно 3, поэтому выражение строго положительно.

в) Обе части положительны, поэтому сравним их квадраты: \((x^2+3)^2-(x^4+6x^2+8)=1>0\). Значит, \((x^2+3)^2>x^4+6x^2+8\), и после извлечения квадратного корня получаем требуемое неравенство.