IV вариант. 1. а) Представьте переменную \(x_n=\frac{10n-5}{3n+1}\) в виде суммы числа и бесконечно малой. б) Чему равен \(\lim_{n\to+\infty}x_n\)?

а) Разделим числитель на знаменатель в форме «постоянное слагаемое плюс остаток»:

\(\displaystyle x_n=\frac{10n-5}{3n+1}=\frac{10}{3}-\frac{\frac{25}{3}}{3n+1}=\frac{10}{3}-\frac{25}{9n+3}.\)

Второе слагаемое стремится к нулю при \(n\to+\infty\), поэтому это бесконечно малая.

Ответ: \(x_n=\frac{10}{3}-\frac{25}{9n+3}\); предел равен \(\frac{10}{3}\).