Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ₁ и АМ2. Докажите, что: а) если НМ₁=HM2, το ΑM₁ = AM2; б) если НМ₁ <HM2, το ΑM₁ < AM2.

Ответ: Доказательство в решении

1. Дано: AH – перпендикуляр к прямой a, AM₁ и AM₂ – наклонные к прямой a.
2. Доказать:
   • а) Если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂.
   • б) Если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.
3. Доказательство:
   • а) Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂. По теореме Пифагора: \[AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2\] \[AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2\] Так как HM₁ = HM₂, то HM₁² = HM₂². Следовательно: \[AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2 = AH^2 + HM_2^2 = AM_2^2\] Значит, AM₁² = AM₂², и, следовательно, AM₁ = AM₂.
   • б) Если HM₁ < HM₂, то HM₁² < HM₂². Тогда: \[AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2\] \[AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2\] Поскольку HM₁² < HM₂², то AH² + HM₁² < AH² + HM₂². Следовательно, AM₁² < AM₂², и, значит, AM₁ < AM₂.

Ответ: Доказательство в решении