310 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ₁ и АМ2. Докажите, что: а) если АМ₁ = AM2, το HM₁ = HM2; б) если АМ₁ < AM2, то HM₁ <HM2.

Доказательство:

а) Если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂. У них AH - общий катет, и по условию AM₁ = AM₂.
2. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата другого катета. Следовательно, HM₁² = AM₁² - AH² и HM₂² = AM₂² - AH².
3. Так как AM₁ = AM₂, то AM₁² = AM₂². Следовательно, HM₁² = AM₁² - AH² = AM₂² - AH² = HM₂².
4. Из HM₁² = HM₂² следует, что HM₁ = HM₂.

б) Если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.

1. Аналогично, рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂. У них AH - общий катет, и по условию AM₁ < AM₂.
2. По теореме Пифагора, HM₁² = AM₁² - AH² и HM₂² = AM₂² - AH².
3. Так как AM₁ < AM₂, то AM₁² < AM₂². Следовательно, AM₁² - AH² < AM₂² - AH², то есть HM₁² < HM₂².
4. Из HM₁² < HM₂² следует, что HM₁ < HM₂.

Ответ: доказано: а) если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂; б) если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.