На рисунке 152 АВ = АС, АР = PQ = QR = = RB = ВС. Найдите угол А.

Ответ: 36°

1. Рассмотрим рисунок 152. Пусть ∠ABC = α. Так как RB = BC, то треугольник RBC – равнобедренный, и ∠BRC = ∠BCA = α.
2. Тогда ∠PRQ = ∠CRB = α (как вертикальные). Поскольку PQ = QR, то треугольник PQR – равнобедренный, и ∠QPR = ∠QRP = α.
3. Тогда ∠APQ = ∠QPR + ∠PRQ = α + α = 2α (как внешний угол треугольника PQR). Так как AP = PQ, то треугольник APQ – равнобедренный, и ∠PAQ = ∠PQA = 2α.
4. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC – равнобедренный, и ∠ABC = ∠ACB = α. Значит, ∠BAC = ∠PAQ = 2α.
5. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°. Подставим известные значения углов: α + α + 2α = 180°. Упростим уравнение: 4α = 180°. Разделим обе части уравнения на 4: α = 45°.
6. Таким образом, ∠A = 2α = 2 ⋅ 45° = 90°.
7. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Значит: ∠A + ∠B + ∠C = 180° 2α + α + α = 180° 4α = 180° α = 45° ∠A = 2α = 2 * 45° = 90°.

Ответ: 36°