К-1, У-1, Вариант 1. № 4. В треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Медиана из \(A\) ведёт к середине \(BC\); вектор из \(A\) к этой середине равен \(\frac12(\vec a+\vec b)\). Значит, \(\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).