К-1, У-1, Вариант 2. № 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ так, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec x=\overrightarrow{BA}$ и $\vec y=\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: К-1, У-1, Вариант 2. № 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ так, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения…$ Фото задания

К-1, У-1, Вариант 2. № 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ так, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec x=\overrightarrow{BA}$ и $\vec y=\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Поскольку квадрат является параллелограммом, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\vec x$. Точка $O$ — середина диагонали $BD$, а $P$ — середина стороны $CD$.

$\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y$, поэтому $\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)$.
$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\vec y+\frac12\vec x$.
$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}=-(\vec y+\frac12\vec x)+\vec x=\frac12\vec x-\vec y$.

Ответ: $\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)$, $\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y$, $\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y$.