9. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Теорема о вписанном угле: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство: Пусть дан вписанный угол \(\angle ABC\) в окружность с центром O. 1. Если центр окружности лежит на стороне угла, например на стороне AB, то \(\angle AOC\) - центральный, и \(\angle AOC = \stackrel{\smile}{AC}\). Так как \(OA = OC\) (радиусы), то \(\triangle AOC\) - равнобедренный, и \(\angle OAC = \angle OCA\). \(\angle AOC\) - внешний угол для \(\triangle AOC\), следовательно, \(\angle AOC = \angle OAC + \angle OCA = 2 \angle OAC\). Таким образом, \(\angle BAC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \stackrel{\smile}{AC}\). 2. Если центр окружности лежит внутри угла, то угол можно разбить на два угла, для каждого из которых выполняется пункт 1. 3. Если центр окружности лежит вне угла, то угол можно получить как разность двух углов, для каждого из которых выполняется пункт 1.