4. Камень брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии?

4. Дано:

• $$v_0 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$

Найти: $$h$$

Решение:

Кинетическая энергия:

$$E_k = \frac{mv^2}{2}$$

Потенциальная энергия:

$$E_p = mgh$$

$$E_k = E_p$$

$$\frac{mv^2}{2} = mgh$$

$$v^2 = 2gh$$

Используем закон сохранения энергии:

$$E = E_k + E_p$$

В верхней точке $$E_k=0$$, $$E=E_p=mgh_{max}$$, где $$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$$.

По условию $$E_k = E_p$$, значит $$E_k = E_p = \frac{E}{2} = \frac{m v_0^2}{4}$$.

Скорость на высоте h:

$$v^2= v_0^2 - 2gh$$

Тогда

$$E_k=\frac{m v^2}{2} = \frac{m (v_0^2 - 2gh)}{2} = mgh$$

$$v_0^2 - 2gh = 2gh$$

$$4gh = v_0^2$$

$$h = \frac{v_0^2}{4g} = \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{4 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{400 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{39.2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 10.2 \text{ м}$$

Ответ: $$10.2 \text{ м}$$.