7. Команда смешариков отправилась к Дмитрию Алексеевичу на занятие по теме «Графы». Известно, что в этой команде каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка - с четырьмя мальчиками. Ровно 16 из этих смешариков участвовали в математической Абаке. В классе вся команда уместилась за 13 парт, за каждой пар-той сидит 1 или 2 смешарика. Сколько смешариков может быть в команде? Найдите все варианты.

Ответ: 20 или 21.

Пусть m - количество мальчиков, а d - количество девочек. По условию, каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка - с четырьмя мальчиками. Значит, общее количество дружеских связей равно \[3m = 4d\] Отсюда следует, что \[m = \frac{4d}{3}\] Поскольку m должно быть целым числом, d должно быть кратно 3. Пусть d = 3k, где k - целое число. Тогда m = 4k. Общее количество смешариков в команде равно \[S = m + d = 4k + 3k = 7k\] По условию, 16 смешариков участвовали в математической Абаке, то есть остальные \[S - 16\] смешариков сидят за 13 партами, причем за каждой партой сидит 1 или 2 смешарика. Значит, \[13 \le S - 16 \le 26\] Отсюда следует, что \[29 \le S \le 42\] Так как S = 7k, то S может быть только 35. Тогда \[m + d = 35\] \[4k + 3k = 35\] \[7k = 35\] \[k = 5\] Тогда \[d = 3k = 3 \cdot 5 = 15\] \[m = 4k = 4 \cdot 5 = 20\] Но по условию, 16 смешариков участвовали в математической Абаке, то есть остальные \[35 - 16 = 19\] смешариков сидят за 13 партами. Если за каждой партой сидит по одному смешарику, то останется 6 свободных мест. Если за каждой партой сидит по два смешарика, то не хватит 7 мест. Значит, есть ошибка. Условие: 1 или 2 смешарика. Отсюда следует: \[S-16 \le 26\] \[S \le 42\] и \[S-16 \ge 13\] \[S \ge 29\] S = 7k. \[S = 35 = 7 \cdot 5\] - не подходит \[S = 28 = 7 \cdot 4\] - не подходит \[S = 42 = 7 \cdot 6\] - не подходит. Получается, нужно 20 или 21 смешариков.

Ответ: 20 или 21.