Контрольная работа № 1. 6. Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Докажите, что четырёхугольник AMCK — параллелограмм.

Обозначим через \(O\) середину диагонали \(AC\). По условию \(M,O,K\) лежат на одной прямой, поэтому \(MK\) проходит через \(O\).

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит \(O\) — также середина диагонали \(BD\). Центральная симметрия с центром \(O\) переводит \(A\) в \(C\), а прямую \(BC\) — в параллельную ей прямую через \(A\), то есть в \(AD\). Поскольку прямая \(MK\) проходит через центр симметрии и пересекает \(BC\) в \(M\), её образ пересекает \(AD\) в точке \(K\); следовательно, \(M\) и \(K\) симметричны относительно \(O\).

Итак, в четырёхугольнике \(AMCK\) диагонали \(AC\) и \(MK\) пересекаются и делятся пополам в точке \(O\). Четырёхугольник, диагонали которого делятся пополам, является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.