Контрольная работа № 2. № 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Считаем основаниями трапеции AD и BC, то есть AD ∥ BC. Треугольник ABD прямоугольный: ∠ABD = 90°, ∠ADB = 30°. Поэтому ∠BAD = 60°, а из соотношения сторон в треугольнике 30°–60°–90° получаем AB = BD/√3 и AD = 2BD/√3.

Так как AD ∥ BC, угол между BD и BC равен углу между BD и AD, то есть ∠DBC = ∠ADB = 30°. По условию ∠BDC = 30°, следовательно, треугольник BDC равнобедренный, и BC = CD.

В прямоугольном треугольнике ABD: AB = BD/√3 и AD = 2BD/√3. Периметр трапеции:

60 = AB + BC + CD + AD = BD/√3 + BD + BD + 2BD/√3 = BD(2 + √3).

Значит, BD = 60/(2 + √3), а AD = 2BD/√3 = 40(2√3 − 3) см.

Ответ: 40(2√3 − 3) см.