11. lim x→0 (1 + x + x)/(2x + x²+x³)

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x + x}{2x + x^2 + x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x}{2x + x^2 + x^3}$$ Подставим x = 0 в функцию: $$\frac{1 + 2(0)}{2(0) + 0^2 + 0^3} = \frac{1}{0}$$ Так как при x стремящемся к 0 знаменатель стремится к 0, а числитель к 1, предел не существует или равен бесконечности. Определим знак бесконечности. Рассмотрим предел при x, стремящемся к 0 справа (x → 0+): Когда x > 0, знаменатель 2x + x² + x³ > 0, следовательно, предел будет равен +∞. Рассмотрим предел при x, стремящемся к 0 слева (x → 0-): Когда x < 0, знаменатель 2x + x² + x³ может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от значения x. Однако, для достаточно малых отрицательных x, член 2x будет доминировать, следовательно, знаменатель будет отрицательным, и предел будет равен -∞. Так как пределы слева и справа не равны, предел в точке x = 0 не существует. Однако если в условии опечатка и числитель 2x + x² + x³, то решение будет таким: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x + x + x}{2x + x^2 + x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x + x}{2x + x^2 + x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + x^2 + x^3}{2x + x^2 + x^3} = \lim_{x \to 0}1 = 1$$ Ответ: Предел не существует или 1, если в условии опечатка и числитель 2x + x² + x³