12. lim x→9 (x²-81)/(√x-3)

Для вычисления предела функции при x стремящемся к 9, мы можем сначала упростить выражение, используя формулу разности квадратов и избавившись от иррациональности в знаменателе. $$x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)$$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на √(x) + 3: $$\lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 81}{\sqrt{x} - 3} = \lim_{x \to 9} \frac{(x^2 - 81)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \frac{(x^2 - 81)(\sqrt{x} + 3)}{x - 9}$$ Заметим, что x² - 81 = (x - 9)(x + 9). А x - 9 можно представить как (√x - 3)(√x + 3). Тогда x² - 81 = (x - 9)(x + 9) = (√x - 3)(√x + 3)(x + 9) Подставим это в наше выражение: $$\lim_{x \to 9} \frac{(x - 9)(x + 9)(\sqrt{x} + 3)}{x - 9} = \lim_{x \to 9} (x + 9)(\sqrt{x} + 3)$$ Теперь подставим x = 9: $$(9 + 9)(\sqrt{9} + 3) = (18)(3 + 3) = 18 \cdot 6 = 108$$ Ответ: 108