log ₁/₃ 3x+1/x-2 > -1

Решим неравенство:

$$log_{\frac{1}{3}} \frac{3x+1}{x-2} > -1$$

$$log_{\frac{1}{3}} \frac{3x+1}{x-2} > log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-1}$$

$$log_{\frac{1}{3}} \frac{3x+1}{x-2} > log_{\frac{1}{3}} 3$$

Так как основание логарифма 1/3 < 1, то знак неравенства меняется:

$$\frac{3x+1}{x-2} < 3$$

$$\frac{3x+1}{x-2} - 3 < 0$$

$$\frac{3x+1 - 3(x-2)}{x-2} < 0$$

$$\frac{3x+1 - 3x + 6}{x-2} < 0$$

$$\frac{7}{x-2} < 0$$

x - 2 < 0

x < 2

Учитываем ОДЗ: x - 2 ≠ 0 => x ≠ 2 и \frac{3x+1}{x-2} > 0

$$\frac{3x+1}{x-2} > 0$$

x ∈ (-∞; -\frac{1}{3}) ∪ (2; +∞)

Ответ: (-∞; -\frac{1}{3})