log3(x² - 7x +12) 人 log 3 20

В условии ошибка. Должно быть log3(x² - 7x +12) < log 3 20

Решим неравенство:

$$log_3(x^2 - 7x + 12) < log_3 20$$

Так как основание логарифма 3 > 1, то знак неравенства сохраняется:

$$x^2 - 7x + 12 < 20$$

$$x^2 - 7x - 8 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 7x - 8 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = -1$$

Тогда неравенство можно переписать как:

$$(x - 8)(x + 1) < 0$$

Метод интервалов:

x ∈ (-1; 8)

Учитываем ОДЗ: x^2 - 7x + 12 > 0

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 7x + 12 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7+1}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7-1}{2} = 3$$

Тогда неравенство можно переписать как:

$$(x - 4)(x - 3) > 0$$

Метод интервалов:

x ∈ (-∞; 3) ∪ (4; +∞)

Ответ: (-1; 3) ∪ (4; 8)