log 0,3 (x² + x +31) < log 0,3 (10x+11)

Решим неравенство:

$$log_{0,3} (x^2 + x + 31) < log_{0,3} (10x + 11)$$

Так как основание логарифма 0,3 < 1, то знак неравенства меняется:

$$x^2 + x + 31 > 10x + 11$$

$$x^2 - 9x + 20 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 9x + 20 = 0$$

$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$$

$$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{9+1}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{9-1}{2} = 4$$

Тогда неравенство можно переписать как:

$$(x - 5)(x - 4) > 0$$

Метод интервалов:

x ∈ (-∞; 4) ∪ (5; +∞)

Учитываем ОДЗ: 10x + 11 > 0 => 10x > -11 => x > -1,1 и x^2 + x + 31 > 0

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 + x + 31 = 0$$

$$D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 1 - 124 = -123$$

Т.к. дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет решений, а значит, выражение всегда положительно.

Ответ: (-1,1; 4) ∪ (5; +∞)