103. 1) log20,5 x – log0,5 x – 2 = 0;

1) Решим уравнение $$log_{2^{0.5}}^2 x – log_{0.5} x – 2 = 0$$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойство логарифма $$log_{a^b} c = \frac{1}{b}log_a c$$:

$$log_{2^{0.5}}^2 x = (\frac{1}{0.5} log_2 x)^2 = (2log_2 x)^2 = 4log_2^2 x$$

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство логарифма $$log_{\frac{1}{a}}b = -log_a b$$:

$$log_{0.5} x = -log_2 x$$

Подставим преобразованные слагаемые в исходное уравнение:

$$4log_2^2 x + log_2 x – 2 = 0$$

Пусть $$t = log_2 x$$, тогда уравнение примет вид:

$$4t^2 + t – 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4(4)(-2) = 1 + 32 = 33$$

$$t_1 = (-1 + \sqrt{33}) / 8$$

$$t_2 = (-1 - \sqrt{33}) / 8$$

Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$:

$$log_2 x = (-1 + \sqrt{33}) / 8$$ или $$log_2 x = (-1 - \sqrt{33}) / 8$$

$$x_1 = 2^{\frac{-1 + \sqrt{33}}{8}}$$

$$x_2 = 2^{\frac{-1 - \sqrt{33}}{8}}$$

Т.к. по определению логарифма $$x > 0$$, то оба значения входят в область определения.

Ответ: $$2^{\frac{-1 + \sqrt{33}}{8}}$$; $$2^{\frac{-1 - \sqrt{33}}{8}}$$