Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4,5.

Пусть O - центр окружности и середина BM. Обозначим середину BC как K. Так как медиана BM является диаметром окружности, угол BKM равен 90 градусов. Значит, BM - высота треугольника ABC. Так как BM является и медианой, и высотой, то треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC. Так как K - середина BC, то BK = KC. Так как BM - медиана, то AM = MC. Обозначим радиус описанной окружности треугольника ABC как R. По условию, R = 4.5. Так как BM - диаметр окружности, BM = 2R = 9. Пусть AB = BC = x. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника BKM: BK^2 + KM^2 = BM^2 (x/2)^2 + KM^2 = 9^2 KM^2 = 81 - x^2/4 Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, медиана BM является также высотой и биссектрисой. Значит, треугольник ABM = CBM. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AC = 2 * AK Т.к. описанная окружность треугольника ABC имеет радиус 4.5, то BM = 9. Если BK = CK, то треугольник ABC равнобедренный и медиана BM является высотой, значит AB = BC. Следовательно, треугольник ABC - равносторонний, т.е., AB = BC = CA = 4.5 Тогда АС = 2r = 2*4.5 = 9 Ответ: 9