Медиана равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.
2. Пусть \( a \) — сторона равностороннего треугольника, \( m \) — медиана.
3. Медиана делит сторону пополам, образуя прямоугольный треугольник с гипотенузой \( a \) и катетами \( \frac{a}{2} \) и \( m \).
4. По теореме Пифагора: \( a^2 = (\frac{a}{2})^2 + m^2 \).
5. \( a^2 = \frac{a^2}{4} + m^2 \).
6. \( a^2 - \frac{a^2}{4} = m^2 \).
7. \( \frac{3a^2}{4} = m^2 \).
8. \( a^2 = \frac{4m^2}{3} \).
9. \( a = \frac{2m}{\sqrt{3}} = \frac{2m\sqrt{3}}{3} \).
10. По условию \( m = 14\sqrt{3} \).
11. Подставим значение медианы в формулу стороны:
12. \( a = \frac{2 \cdot (14\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 14 = 28 \).
13. Альтернативный способ: в равностороннем треугольнике углы равны \( 60^{\circ} \). Медиана является биссектрисой.
14. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной \( a \), медианой \( m \) и половиной стороны \( \frac{a}{2} \). Угол при вершине, к которой проведена медиана, равен \( 30^{\circ} \) (половина \( 60^{\circ} \)).
15. \( m = a \cdot \sin(60^{\circ}) \).
16. \( m = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
17. \( a = \frac{2m}{\sqrt{3}} \).
18. \( a = \frac{2 \cdot 14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 14 = 28 \).

Ответ: 28.