20.46. Металлический куб массой 54 кг оказывает на стол давление 19 кПа. Из какого металла может быть изготовлен куб?

Дано:

• Масса куба: $$m = 54 \text{ кг}$$
• Давление куба на стол: $$P = 19 \text{ кПа} = 19000 \text{ Па}$$

Найти: материал куба.

Решение:

Давление куба на стол: $$P = \frac{F}{S} = \frac{mg}{a^2}$$, где $$a$$ - длина ребра куба, $$S = a^2$$ - площадь основания куба.

Масса куба: $$m = \rho V = \rho a^3$$, где $$\rho$$ - плотность материала куба, $$V = a^3$$ - объем куба.

Выразим длину ребра куба через массу и плотность: $$a = \sqrt[3]{\frac{m}{\rho}}$$.

Подставим это выражение в формулу для давления: $$P = \frac{mg}{(\frac{m}{\rho})^{2/3}} = \frac{mg}{\left(\frac{m}{\rho}\right)^{\frac{2}{3}}}$$.

Преобразуем и выразим плотность: $$\rho = \frac{m}{\left( \frac{mg}{P} \right)^{3/2}} = \frac{m}{\left( \frac{mg}{P} \right)^{\frac{3}{2}}}$$.

$$P = \frac{mg}{S} = \frac{mg}{a^2}$$.

$$a^2 = \frac{mg}{P} = \frac{54 \cdot 9.81}{19000} = 0.0278 \text{ м}^2$$.

$$a = \sqrt{0.0278} = 0.167 \text{ м}$$.

Объем $$V = a^3 = (0.167)^3 = 0.00466 \text{ м}^3$$.

Плотность: $$\rho = \frac{m}{V} = \frac{54}{0.00466} \approx 11590 \text{ кг/м}^3$$.

По таблице плотностей, этот материал близок к свинцу ($$\rho = 11300 \text{ кг/м}^3$$).

Ответ: свинец