20.44. Один литературный герой, закаляя свою волю, рискнул лечь на доску, утыканную гвоздями (остриями вверх). Оцените, из скольких гвоздей должно было состоять его ложе, считая, что масса взрослого человека 70 кг, острие каждого гвоздя имеет площадь 0,1 мм², а человеческая кожа может выдерживать давление 3 · 106 Па.

Дано:

• Масса человека, $$m = 70 \text{ кг}$$
• Площадь острия одного гвоздя, $$S_1 = 0.1 \text{ мм}^2 = 0.1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$$
• Предельное давление, которое выдерживает кожа, $$P_{\text{max}} = 3 \cdot 10^6 \text{ Па}$$

Найти: минимальное количество гвоздей $$n$$, необходимое для поддержания человека на доске без повреждения кожи.

Решение:

Сила тяжести, действующая на человека, равна $$F = mg = 70 \text{ кг} \cdot 9.81 \text{ м/с}^2 = 686.7 \text{ Н}$$.

Общая площадь, необходимая для распределения этой силы без превышения давления, которое выдерживает кожа, равна $$S = \frac{F}{P_{\text{max}}} = \frac{686.7 \text{ Н}}{3 \cdot 10^6 \text{ Па}} = 2.289 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$$.

Количество гвоздей, необходимое для создания такой площади, равно $$n = \frac{S}{S_1} = \frac{2.289 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{0.1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = 2289$$.

Ответ: 2289