20.47. Полый алюминиевый куб с длиной ребра 10 см оказывает на стол давление 1,3 кПа. Какова толщина стенок куба?

Дано:

• Длина ребра куба: $$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$
• Давление куба на стол: $$P = 1.3 \text{ кПа} = 1300 \text{ Па}$$
• Плотность алюминия: $$\rho = 2700 \text{ кг/м}^3$$

Найти: толщину стенок куба $$\delta$$.

Решение:

Давление куба на стол: $$P = \frac{F}{S} = \frac{mg}{a^2}$$, где $$m$$ - масса куба, $$S = a^2$$ - площадь основания куба.

Выразим массу куба через давление и площадь основания: $$m = \frac{P \cdot a^2}{g} = \frac{1300 \cdot (0.1)^2}{9.81} \approx 1.325 \text{ кг}$$.

Масса куба также может быть выражена через его плотность и объем материала: $$m = \rho V = \rho (a^3 - (a-2\delta)^3)$$, где $$\delta$$ - толщина стенки куба.

Приравняем оба выражения для массы: $$1.325 = 2700 (0.1^3 - (0.1 - 2\delta)^3)$$.

Выразим $$\delta$$:

$$0.1^3 - (0.1 - 2\delta)^3 = \frac{1.325}{2700} \approx 0.000491$$

$$(0.1 - 2\delta)^3 = 0.1^3 - 0.000491 = 0.001 - 0.000491 = 0.000509$$

$$0.1 - 2\delta = \sqrt[3]{0.000509} \approx 0.080$$

$$2\delta = 0.1 - 0.080 = 0.020$$

$$\delta = \frac{0.02}{2} = 0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$$

Ответ: 1 см