20.49. На столе стоят один на другом два однородных куба, длина ребра которых отличается в 2 раза. Каково отношение плотности материалов, из которых сделаны кубы, если верхний куб оказывает такое же давление на нижний, как нижний на стол?

Пусть $$a_1$$ - длина ребра верхнего куба, $$a_2 = 2a_1$$ - длина ребра нижнего куба.

Пусть $$\rho_1$$ - плотность верхнего куба, $$\rho_2$$ - плотность нижнего куба.

Масса верхнего куба: $$m_1 = \rho_1 a_1^3$$.

Масса нижнего куба: $$m_2 = \rho_2 a_2^3 = \rho_2 (2a_1)^3 = 8 \rho_2 a_1^3$$.

Давление верхнего куба на нижний: $$P_1 = \frac{m_1 g}{a_2^2} = \frac{\rho_1 a_1^3 g}{(2a_1)^2} = \frac{\rho_1 a_1^3 g}{4 a_1^2} = \frac{\rho_1 a_1 g}{4}$$.

Давление нижнего куба на стол: $$P_2 = \frac{(m_1 + m_2)g}{a_2^2} = \frac{(\rho_1 a_1^3 + 8\rho_2 a_1^3)g}{(2a_1)^2} = \frac{(\rho_1 + 8\rho_2)a_1^3 g}{4 a_1^2} = \frac{(\rho_1 + 8\rho_2)a_1 g}{4}$$.

Так как $$P_1 = P_2$$, то $$\frac{\rho_1 a_1 g}{4} = \frac{(\rho_1 + 8\rho_2)a_1 g}{4}$$.

Отсюда: $$\rho_1 = \rho_1 + 8 \rho_2$$.

Получаем: $$\rho_1 = 7\rho_2$$. Следовательно, $$\rho_1=7\rho_2$$, $$\rho_1 : \rho_2=7$$

Ответ: 7