Преобразуем время в минуты: Миша едет 30 мин, сестра - 45 мин.
Пусть t - время после выезда сестры, когда они встретились. Тогда Миша ехал t + 10 минут. Расстояние, которое проехал Миша: \(\frac{t+10}{30}\). Расстояние, которое проехала сестра: \(\frac{t}{45}\). Вместе они проехали весь путь от дома до дачи:
\[\frac{t+10}{30} + \frac{t}{45} = 1\]
\[\frac{3(t+10) + 2t}{90} = 1\]
\[3t + 30 + 2t = 90\]
\[5t = 60\]
\[t = 12\]
Таким образом, они встретились через 12 минут после выезда сестры. Миша ехал 12 + 10 = 22 минуты. Ему осталось ехать 30 - 22 = 8 минут.
**Ответ:** Они встретились через 12 минут после выезда сестры. Мише осталось ехать 8 минут.