6. Моторная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению реки, затратив на весь путь 14 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пошаговое решение:

1. Обозначим собственную скорость лодки как v (км/ч).
2. Скорость лодки против течения: v - 2 (км/ч).
3. Скорость лодки по течению: v + 2 (км/ч).
4. Время, затраченное на путь против течения: \[t_1 = \frac{45}{v - 2}\]
5. Время, затраченное на путь по течению: \[t_2 = \frac{45}{v + 2}\]
6. Общее время: \[t_1 + t_2 = 14\]
7. Составим уравнение: \[\frac{45}{v - 2} + \frac{45}{v + 2} = 14\]
8. Приведем к общему знаменателю: \[\frac{45(v + 2) + 45(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 14\] \[\frac{45v + 90 + 45v - 90}{v^2 - 4} = 14\] \[\frac{90v}{v^2 - 4} = 14\]
9. Умножим обе части на \(v^2 - 4\): \[90v = 14(v^2 - 4)\] \[90v = 14v^2 - 56\]
10. Приведем к виду квадратного уравнения: \[14v^2 - 90v - 56 = 0\] Разделим обе части на 2: \[7v^2 - 45v - 28 = 0\]
11. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
    • \(D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809\)
    • \(v_1 = \frac{45 + \sqrt{2809}}{2 \cdot 7} = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7\)
    • \(v_2 = \frac{45 - \sqrt{2809}}{2 \cdot 7} = \frac{45 - 53}{14} = \frac{-8}{14} < 0\) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ: Собственная скорость лодки: 7 км/ч.