2 M 8 x y L 10 K N 21

2. В треугольнике MNK отрезок NL является биссектрисой угла MNK.

По свойству биссектрисы треугольника:

MN / NK = ML / LK;

x / 21 = 8 / 10;

10x = 21 × 8;

10x = 168;

x = 16.8.

Рассмотрим треугольник MNL. По теореме косинусов:

ML² = MN² + NL² - 2 × MN × NL × cos(MNL);

8² = 16.8² + y² - 2 × 16.8 × y × cos(MNL).

Рассмотрим треугольник NLK. По теореме косинусов:

LK² = NK² + NL² - 2 × NK × NL × cos(LNK);

10² = 21² + y² - 2 × 21 × y × cos(LNK).

Так как NL - биссектриса, угол MNL = углу LNK.

Обозначим угол MNL = углу LNK = α.

Тогда:

64 = 282.24 + y² - 33.6y × cos(α);

100 = 441 + y² - 42y × cos(α).

Выразим cos(α) из первого уравнения:

cos(α) = (282.24 + y² - 64) / (33.6y) = (218.24 + y²) / (33.6y).

Выразим cos(α) из второго уравнения:

cos(α) = (441 + y² - 100) / (42y) = (341 + y²) / (42y).

Приравняем выражения для cos(α):

(218.24 + y²) / (33.6y) = (341 + y²) / (42y);

42y(218.24 + y²) = 33.6y(341 + y²);

9166.08y + 42y³ = 11457.6y + 33.6y³;

8.4y³ - 2291.52y = 0;

y(8.4y² - 2291.52) = 0.

y = 0 не подходит, тогда:

8.4y² = 2291.52;

y² = 272.8;

y = √272.8 ≈ 16.52.

Ответ: x = 16.8, y ≈ 16.52