13.14. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и N так, что ВМ = BN. Докажите, что МN || АС.

Доказательство:

Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

Рассмотрим треугольник MBN. Т.к. BM = BN, то треугольник MBN - равнобедренный, и углы при основании MN равны: ∠BMN = ∠BNM.

Т.к. BM = BN и BA = BC, то AM = CN.

Чтобы доказать, что MN || AC, нужно доказать, что углы BMN и BAC равны (как соответственные при пересечении прямых MN и AC секущей AB).

Т.к. BM = BN, то ∠BMN = ∠BNM = (180° - ∠MBN) / 2.

Т.к. ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2.

Т.к. ∠MBN = ∠ABC (один и тот же угол), то ∠BMN = ∠BAC.

Следовательно, MN || AC.

Ответ: доказано, что MN || AC.