13.15. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) проведены медианы AN и СМ. Докажите, что МN || АС.

Доказательство:

Медианы AN и CM делят стороны BC и AB пополам, следовательно, AM = MB = BN = NC.

1) Рассмотрим треугольник ABC. Т.к. AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, следовательно, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

2) Рассмотрим треугольник MBN. Т.к. BM = BN, то треугольник MBN - равнобедренный, следовательно, углы при основании MN равны: ∠BMN = ∠BNM.

3) Т.к. BM = 1/2 AB и BN = 1/2 BC, то BM/AB = BN/BC = 1/2.

4) Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны по двум сторонам и углу между ними (∠B общий).

5) Из подобия треугольников следует, что соответственные углы равны: ∠BAC = ∠BMN.

6) Углы BMN и BAC соответственные при пересечении прямых MN и AC секущей AB. Если соответственные углы равны, то прямые MN и AC параллельны.

Ответ: доказано, что MN || AC.