13.16. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены биссектрисы AN и СМ. Докажите, что МN || АС.

Доказательство:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы AN и CM делят углы ∠BAC и ∠BCA пополам. Т.к. треугольник равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Тогда ∠NAC = ∠NCA = 1/2 * ∠BAC = 1/2 * ∠BCA.

Т.к. AN и CM - биссектрисы, то они пересекаются в одной точке, например, в точке O. Рассмотрим треугольник AOC. В этом треугольнике углы ∠OAC и ∠OCA равны, следовательно, треугольник AOC - равнобедренный (AO = OC).

Рассмотрим треугольники ANC и CMA. У них AC - общая сторона, AN = CM (как биссектрисы, проведённые к равным сторонам), ∠NAC = ∠MCA. Следовательно, треугольники ANC и CMA равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников ANC и CMA следует, что NC = MA.

Так как AB = BC и NC = MA, то BN = BM.

Рассмотрим треугольник MBN. Т.к. BN = BM, то треугольник MBN - равнобедренный, следовательно, углы при основании MN равны: ∠BMN = ∠BNM.

Т.к. треугольники ANC и CMA равны, то углы ∠ANC = ∠CMA. Тогда ∠ANB = ∠CMA (т.к. ∠ANB = 180° - ∠ANC, ∠BMC = 180° - ∠CMA).

Следовательно, треугольники ANB и BMC равны (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников ANB и BMC следует, что ∠ABN = ∠BCM.

Т.к. ∠ABC = ∠ABN + ∠NBC и ∠BCA = ∠BCM + ∠MCA, то ∠NBC = ∠MCA.

Следовательно, MN || AC, т.к. углы ∠NBC и ∠MCA равны.

Ответ: доказано, что MN || AC.