13.17. На рисунке 13.12 АВ = CD и ∠A = ∠D. Докажите, что AD || BC.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию ABCD. Дано: AB = CD, ∠A = ∠D.

1) Проведём высоты BH и CF к основанию AD. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и DCF. У них AB = CD (по условию), углы ∠A = ∠D (по условию), значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу.

2) Из равенства треугольников ABH и DCF следует, что AH = DF и BH = CF.

3) Т.к. BH и CF - высоты, то BH ⊥ AD и CF ⊥ AD. Тогда BH || CF (как перпендикуляры к одной и той же прямой).

4) Т.к. BH || CF и BH = CF, то четырёхугольник BCFH - параллелограмм. Тогда BC || HF.

5) Т.к. AH = DF, то AD = AH + HF + FD = HF + 2AH.

6) Т.к. BC || HF, то AD || BC.

Ответ: доказано, что AD || BC.