149 Отрезки АВ и CD – диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды ВД и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

а) Докажем, что хорды BD и AC равны.

Так как АВ и CD - диаметры, то ∠BOD = ∠AOC как вертикальные. Рассмотрим треугольники ΔBOD и ΔAOC. У них OD = OC и OB = OA как радиусы окружности. ∠BOD = ∠AOC как вертикальные. Следовательно, ΔBOD = ΔAOC по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон BD = AC.

б) Докажем, что хорды AD и BC равны.

Так как АВ и CD - диаметры, то ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC. У них OD = OC и OB = OA как радиусы окружности, ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Следовательно, ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон AD = BC.

в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.

∠BAD - вписанный угол, опирается на дугу BD. ∠BCD - вписанный угол, опирается на дугу AD. Хорды AD = BC, следовательно, дуги AD = BC. Дуга BD равна дуге AC, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны: ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: доказано.