18 На плоскости провели 10 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 18° (рис. 13.48).

Предположим, что угол между любыми двумя из 10 прямых больше 18°. Рассмотрим углы, образованные этими прямыми в одной точке.

Полный угол составляет 360°. Если у нас 10 прямых, они образуют углы между собой. Минимальное количество углов, которые они могут образовать, равно количеству пар, которые можно составить из 10 прямых, то есть C(10, 2) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / 2 = 45 углов.

Однако, каждая пара прямых образует 4 угла (два одинаковых и два смежных с ними). Следовательно, нам нужно рассмотреть углы, образованные этими прямыми в одной точке.

Допустим, минимальный угол между любыми двумя прямыми больше 18°. Если мы возьмем все 10 прямых, они разделят плоскость на углы. Сумма углов вокруг точки равна 360°.

Поскольку у нас есть 10 прямых, можно считать, что они делят плоскость на части. Если минимальный угол между ними больше 18°, то сумма всех углов, образованных этими прямыми, должна быть больше, чем 10 * 18 = 180°.

Однако, предположим, что каждый из углов между соседними прямыми больше 18°. Рассмотрим следующую ситуацию: у нас есть 10 прямых, проходящих через одну точку. Углы между этими прямыми составляют в сумме 360°.

Если бы все углы были больше 18°, то сумма всех углов была бы больше 18 * количество углов = 18 * 10 = 180°. Это не означает, что углы в сумме превысят 360°.

Пусть наименьший угол между двумя прямыми равен α. Тогда, по условию, α > 18°. Однако, если все углы между 10 прямыми больше 18°, то возникает противоречие. Общая сумма углов вокруг точки равна 360°.

Ответ: Угол между какими-то двумя из них не больше 18°.