На продолжении диагонали AC прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырехугольник MBND параллелограмм.

Пусть M и N лежат на продолжениях AC за точками A и C соответственно; дано \(AM=CN\).

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны: \(AD=CB\), \(AD\parallel CB\). Углы \(MAD\) и \(NCB\) равны как углы между соответственно параллельными прямыми AC и AD, AC и CB. Вместе с условием \(AM=CN\) это даёт равенство треугольников MAD и NCB по двум сторонам и углу между ними.

2. Диагонали четырёхугольника MBND — это MN и BD. Точка пересечения диагоналей прямоугольника, обозначим её O, является серединой AC и BD. Поскольку M, A, O, C, N лежат на одной прямой и \(AM=CN\), середина MN также совпадает с O: равные добавочные отрезки по разные стороны от AC сохраняют середину. Значит, диагонали MN и BD четырёхугольника MBND делятся точкой пересечения пополам. По признаку параллелограмма MBND — параллелограмм.