130 На рисунке 80 ∠DAC= ∠DBC, AO = ВО. Докажите, что ZC = ∠D и АС = BD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC:

• AO = BO (по условию).
• ∠DAC = ∠DBC (по условию), следовательно ∠DAO = ∠CBO.
• ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные).

Следовательно, ΔAOD = ΔBOC (по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что:

• OC = OD.

Тогда:

• AC = AO + OC.
• BD = BO + OD.

Так как AO = BO и OC = OD, то AC = BD.

Докажем, что ∠C = ∠D:

Рассмотрим треугольники ΔDAC и ΔCBD:

• AC = BD (доказано выше).
• AD = BC (так как ΔAOD = ΔBOC).
• DC - общая сторона.

Следовательно, ΔDAC = ΔCBD (по третьему признаку равенства треугольников: по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что ∠C = ∠D.

Ответ: ∠C = ∠D и AC = BD.