144 На рисунке 82 AB = CD, AD = BC, ВЕ — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; 6) AABE = ACDF.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

1. AB = CD (дано).

2. AD = BC (дано).

3. AC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC = ∠ADC.

Так как BE и DF - биссектрисы углов ABC и ADC соответственно, то ∠ABE = 1/2 ∠ABC, ∠ADF = 1/2 ∠ADC. Поскольку ∠ABC = ∠ADC, то 1/2 ∠ABC = 1/2 ∠ADC, следовательно, ∠ABE = ∠ADF.

a) Рассмотрим треугольники ABE и CDF:

1. AB = CD (дано).

2. ∠ABE = ∠ADF (доказано выше).

3. ∠BAE = ∠DCF (так как треугольники ABC и ADC равны, то и углы ∠BAC = ∠DCA, а также ∠BCA = ∠DAC. Следовательно, ∠BAE = ∠DAC - ∠DAE, ∠DCF = ∠BCA - ∠BCE, и так как углы ∠DAE и ∠BCE равны, то и ∠BAE = ∠DCF).

Треугольники ABE и CDF равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Следовательно, △ABE = △CDF.

Ответ:

a) ∠ABE = ∠ADF

б) △ABE = △CDF