102. На рисунке 49 биссектрисы углов ВАС и ACD пересе- кают прямую BD в точках Е и F. Докажите, что если CD = DF, то АВ = ВЕ.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник CDF. Так как CD = DF, то треугольник CDF равнобедренный с основанием CF. Следовательно, углы при основании равны: ∠DCF = ∠DFC.

2) ∠ACD = 2∠DCF, так как CF - биссектриса угла ACD. ∠BAC = 2∠BAE, так как AE - биссектриса угла BAC.

3) Пусть ∠DCF = ∠DFC = x. Тогда ∠ACD = 2x.

4) Так как AB || CD (по условию), то ∠BAC = ∠ACD как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠BAC = 2x.

5) ∠BAE = (1/2)∠BAC = (1/2) * 2x = x.

6) ∠AEB = ∠DEC как вертикальные углы.

7) ∠AEB = ∠DFC = x (так как ∠DFC = ∠DEC).

8) ∠BAE = ∠AEB = x.

9) В треугольнике ABE углы при основании AE равны, следовательно, треугольник ABE равнобедренный с основанием AE. Значит, AB = BE.

Ответ: Доказано, что AB = BE.