На рисунке изображён график у=f(х) производной функции f(х), определённой на интервале (-3; 8). В какой точке отрезка [-2; 3] функция f(х) принимает наименьшее значение?

Решение:

На отрезке \([-2; 3]\) нам нужно найти точку, где функция \(f(x)\) принимает наименьшее значение. Для этого нужно проанализировать график производной \(y = f'(x)\).

Мы знаем, что функция \(f(x)\) убывает, когда \(f'(x) < 0\), и возрастает, когда \(f'(x) > 0\).

Смотрим на график производной \(f'(x)\) на отрезке \([-2; 3]\):

• На интервале \([-2; x_0)\), где \(x_0\) — точка минимума на графике \(f'(x)\), \(f'(x)\) положительна, значит, \(f(x)\) возрастает.
• На интервале \((x_0; 3]\), \(f'(x)\) отрицательна, значит, \(f(x)\) убывает.

На самом деле, нам нужно найти, где значение \(f(x)\) минимально. Это произойдёт либо в точке минимума самой \(f(x)\), либо на концах отрезка. Точки экстремума \(f(x)\) находятся там, где \(f'(x) = 0\) или \(f'(x)\) меняет знак.

На графике \(f'(x)\) видно, что \(f'(x) = 0\) примерно в точках \(x = -2\) и \(x = 2\) (приблизительно). Также, \(f'(x)\) меняет знак с плюса на минус на \(x=-2\) (локальный максимум \(f(x)\)), и с минуса на плюс на \(x=2\) (локальный минимум \(f(x)\)).

На отрезке \([-2; 3]\), функция \(f(x)\) сначала возрастает (до \(x = -2\), где \(f'(-2) = 0\)), затем убывает (от \(x = -2\) до \(x = 2\), где \(f'(2) = 0\)), и снова возрастает (от \(x = 2\) до \(x = 3\)).

Таким образом, наименьшее значение \(f(x)\) на отрезке \([-2; 3]\) будет в точке локального минимума, которая находится там, где производная \(f'(x)\) равна нулю и меняет знак с минуса на плюс. По графику, это примерно \(x = 2\).

Ответ: 2