Расстояние между пристанями А и В равно 192 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Дано:

• Расстояние АВ = 192 км.
• Скорость течения реки \(v_{тек} = 4\) км/ч.
• Плот отправился из А.
• Яхта отправилась из А через 3 часа после плота.
• Яхта прибыла в В и повернула обратно.
• Ко времени возвращения яхты в А, плот проплыл 92 км.

Найти: Скорость яхты в неподвижной воде \(v_{яхты}\).

Решение:

1. Найдем время, за которое плот проплыл 92 км. Скорость плота равна скорости течения, т.е. \(v_{плота} = 4\) км/ч. Время плота \(t_{плота} = \frac{92}{4} = 23\) часа.
2. Яхта отправилась на 3 часа позже плота, поэтому время движения яхты составило \(t_{яхты} = t_{плота} - 3 = 23 - 3 = 20\) часов.
3. За это время яхта проплыла расстояние туда и обратно. Так как яхта вернулась в А, она проплыла 192 км (до В) + 192 км (обратно в А). Общее расстояние, пройденное яхтой, равно \(192 + 192 = 384\) км.
4. Теперь найдем скорость яхты. Она двигалась против течения, когда плыла из А в В (потому что плот плыл по течению, а яхта отправилась позже), и по течению, когда возвращалась. Это противоречие в условии. Предположим, что яхта плыла из А в В ПО течению, а возвращалась ПРОТИВ течения.
5. Скорость яхты по течению: \(v_{яхты} + v_{тек} = v_{яхты} + 4\).
6. Скорость яхты против течения: \(v_{яхты} - v_{тек} = v_{яхты} - 4\).
7. Время движения яхты: \(t_{ яхты} = t_{туда} + t_{обратно}\)
8. \(20 = \frac{192}{v_{яхты} + 4} + \frac{192}{v_{яхты} - 4}\)
9. \(20 = 192 \left( \frac{1}{v_{яхты} + 4} + \frac{1}{v_{яхты} - 4} \right)\)
10. \(20 = 192 \left( \frac{v_{яхты} - 4 + v_{яхты} + 4}{(v_{яхты} + 4)(v_{яхты} - 4)} \right)\)
11. \(20 = 192 \left( \frac{2v_{яхты}}{v_{яхты}^2 - 16} \right)\)
12. \(20 = \frac{384v_{яхты}}{v_{яхты}^2 - 16}\)
13. \(20(v_{яхты}^2 - 16) = 384v_{яхты}\)
14. \(20v_{яхты}^2 - 320 = 384v_{яхты}\)
15. \(20v_{яхты}^2 - 384v_{яхты} - 320 = 0\)
16. Разделим на 4: \(5v_{яхты}^2 - 96v_{яхты} - 80 = 0\)
17. Решим квадратное уравнение: \(v_{яхты} = \frac{96 \pm \sqrt{(-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80)}}{2 \cdot 5} = \frac{96 \pm \sqrt{9216 + 1600}}{10} = \frac{96 \pm \sqrt{10816}}{10}\)
18. \(\sqrt{10816} = 104\)
19. \(v_{яхты} = \frac{96 \pm 104}{10}\)
20. \(v_{яхты1} = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20\)
21. \(v_{яхты2} = \frac{96 - 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8\) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 20