Найдите наибольшее значение функции у = -3tgx+6x-1,5m + 12 на отрезке [-π/3, π/3].

Решение:

Функция: \(y = -3\tan x + 6x - \frac{3}{2} \pi + 12\). Отрезок: \([-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\).

Найдем производную функции:

\[ y' = -3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 6 = 6 - \frac{3}{\cos^2 x} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6 - \frac{3}{\cos^2 x} = 0 \]

\[ 6 = \frac{3}{\cos^2 x} \]

\[ \cos^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

\[ \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

На отрезке \([-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\), \(\cos x\) положителен. Следовательно, \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Это соответствует углам \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = -\frac{\pi}{4}\).

Теперь проверим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

1. В точке \(x = \frac{\pi}{4}\):

\[ y = -3\tan(\frac{\pi}{4}) + 6(\frac{\pi}{4}) - \frac{3}{2}\pi + 12 = -3(1) + \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{2}\pi + 12 = -3 + 12 = 9 \]

2. В точке \(x = -\frac{\pi}{4}\):

\[ y = -3\tan(-\frac{\pi}{4}) + 6(-\frac{\pi}{4}) - \frac{3}{2}\pi + 12 = -3(-1) - \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{2}\pi + 12 = 3 - 3\pi + 12 = 15 - 3\pi \]

\(3\pi \approx 3 \cdot 3.14 = 9.42\). Значит, \(15 - 3\pi ≈ 15 - 9.42 = 5.58\).

3. На концах отрезка:

а) В точке \(x = \frac{\pi}{3}\):

\[ y = -3\tan(\frac{\pi}{3}) + 6(\frac{\pi}{3}) - \frac{3}{2}\pi + 12 = -3(\sqrt{3}) + 2\pi - \frac{3}{2}\pi + 12 = -3\sqrt{3} + \frac{1}{2}\pi + 12 \]

\(-3\sqrt{3} \approx -3 \cdot 1.732 = -5.196\)

\(\frac{1}{2}\pi \approx 1.57\)

\(y \approx -5.196 + 1.57 + 12 = 8.374\).

б) В точке \(x = -\frac{\pi}{3}\):

\[ y = -3\tan(-\frac{\pi}{3}) + 6(-\frac{\pi}{3}) - \frac{3}{2}\pi + 12 = -3(-\sqrt{3}) - 2\pi - \frac{3}{2}\pi + 12 = 3\sqrt{3} - \frac{7}{2}\pi + 12 \]

\(3\sqrt{3} \approx 5.196\)

\(-\frac{7}{2}\pi \approx -3.5 \cdot 3.14 = -10.99\)

\(y \approx 5.196 - 10.99 + 12 = 6.206\).

Сравнивая значения: \(9\), \(15 - 3\pi ≈ 5.58\), \(-3\sqrt{3} + \frac{1}{2}\pi + 12 ≈ 8.374\), \(3\sqrt{3} - \frac{7}{2}\pi + 12 ≈ 6.206\).

Наибольшее значение равно 9.

Ответ: 9