4. На рисунке треугольник MNP вписан в окружность. Найдите радиус окружности, если известно, что ∠NMP = a, NP=5.

Для нахождения радиуса окружности, воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{NP}{\sin(\angle NMP)} = 2R$$

где $$NP$$ - сторона треугольника, $$∠NMP$$ - противолежащий угол, $$R$$ - радиус окружности.

Известно, что $$NP = 5$$ и $$∠NMP = \alpha$$, тогда

$$\frac{5}{\sin(\alpha)} = 2R$$ $$R = \frac{5}{2\sin(\alpha)}$$

Ответ: $$ R = \frac{5}{2\sin(\alpha)} $$