6. В трапеции ABCD (ВС – меньшее основание) диагональ АС равна 4 см, большее основание равно 8 см, ∠ABC=110°, ∠BAC=30°. Найдите сторону CD.

В трапеции $$ABCD$$: $$BC$$ - меньшее основание, $$AC = 4 \text{ см}$$, $$AD = 8 \text{ см}$$, $$∠ABC = 110^\circ$$, $$∠BAC = 30^\circ$$. Необходимо найти сторону $$CD$$.

В треугольнике $$ABC$$ известен угол $$∠BAC = 30^\circ$$, а также известно, что $$∠ABC = 110^\circ$$. Тогда угол $$∠BCA = 180^\circ - 30^\circ - 110^\circ = 40^\circ$$.

Трапеция $$ABCD$$ является равнобедренной, следовательно, $$AB = CD$$.

Применим теорему синусов для треугольника $$ABC$$:

$$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)}$$ $$\frac{BC}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin(110^\circ)} = \frac{AB}{\sin(40^\circ)}$$

Выразим $$AB$$:

$$\frac{AB}{\sin(40^\circ)} = \frac{4}{\sin(110^\circ)}$$ $$AB = \frac{4 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(110^\circ)} = \frac{4 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}$$

Так как трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, то $$CD = AB$$.

$$CD = \frac{4 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)} \approx 2.74$$

Ответ: $$CD \approx 2.74 \text{ см}$$.