7*. Площадь треугольника MPK равна 8, ∠P = 45°, MP=8√2. Найдите сторону MK.

Площадь треугольника $$MPK$$ равна 8, $$∠P = 45^\circ$$, $$MP = 8\sqrt{2}$$. Найти сторону $$MK$$.

Площадь треугольника можно выразить как:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot PK \cdot \sin(P) $$

Подставим известные значения:

$$ 8 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot PK \cdot \sin(45^\circ) $$ $$ 8 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot PK \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ 8 = 4 \cdot PK $$ $$ PK = 2 $$

Теперь у нас есть две стороны треугольника $$MPK$$ и угол между ними. Используем теорему косинусов для нахождения стороны $$MK$$:

$$ MK^2 = MP^2 + PK^2 - 2 \cdot MP \cdot PK \cdot \cos(P) $$ $$ MK^2 = (8\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos(45^\circ) $$ $$ MK^2 = 128 + 4 - 32\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ MK^2 = 132 - 32 $$ $$ MK^2 = 100 $$ $$ MK = 10 $$

Ответ: 10