5. Сторона квадрата ABCD равна 13. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС.

Пусть сторона квадрата равна $$a = 13$$. Нужно найти скалярное произведение векторов $$AB$$ и $$AC$$.

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$$ AB \cdot AC = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\angle BAC) $$

В квадрате $$ABCD$$: $$|AB| = a = 13$$. Диагональ $$AC$$ равна $$a\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$$. Угол между стороной и диагональю квадрата равен $$45^\circ$$.

Тогда скалярное произведение равно:

$$ AB \cdot AC = 13 \cdot 13\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 13 \cdot 13\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 13 \cdot 13 = 169 $$

Ответ: 169