12168 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаме- трах построены три полукруга. Докажите, что площадь по- лукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Доказательство:

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты \[a\] и \[b\] , а гипотенуза \[c\] . По теореме Пифагора, \[a^2 + b^2 = c^2\] .

Площадь полукруга, построенного на катете \[a\] как на диаметре, равна:

\[S_a = \frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^2 = \frac{πa^2}{8}\]

Площадь полукруга, построенного на катете \[b\] как на диаметре, равна:

\[S_b = \frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2 = \frac{πb^2}{8}\]

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе \[c\] как на диаметре, равна:

\[S_c = \frac{1}{2}π(\frac{c}{2})^2 = \frac{πc^2}{8}\]

Сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна:

\[S_a + S_b = \frac{πa^2}{8} + \frac{πb^2}{8} = \frac{π(a^2 + b^2)}{8}\]

Так как \[a^2 + b^2 = c^2\] , то:

\[S_a + S_b = \frac{πc^2}{8} = S_c\]

Таким образом, площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Ответ: Площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах, что и требовалось доказать.