На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD = 3, DC = 7\). Площадь треугольника \(ABC\) равна 20. Найдите площадь треугольника \(BCD\).

Дано:

• \(AD = 3\)
• \(DC = 7\)
• \(S_{ABC} = 20\)

Найти: \(S_{BCD}\)

Решение:

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как длины их оснований.

Пусть \(h\) - высота треугольника \(ABC\), проведенная к стороне \(AC\).

Тогда высота треугольника \(BCD\), проведенная к стороне \(DC\), также равна \(h\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (AD + DC) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (3 + 7) \cdot h = 5h$$

Площадь треугольника \(BCD\) равна:

$$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h = \frac{7}{2} h$$

Выразим \(h\) из площади треугольника \(ABC\):

$$5h = 20 \Rightarrow h = 4$$

Подставим значение \(h\) в площадь треугольника \(BCD\):

$$S_{BCD} = \frac{7}{2} \cdot 4 = 14$$

Ответ: 14