8. Найдите √5 sin α, если ctg α = 0,5 κ α € (2π; 3π).

Дано: $$ctg \alpha = 0.5$$, $$\alpha \in (2\pi; 3\pi)$$. Необходимо найти: $$\sqrt{5} \sin \alpha$$

Известно, что $$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 0.5 = \frac{1}{2}$$.

Также известно, что $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

Выразим косинус через синус, используя данное соотношение: $$\cos \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha$$.

Подставим это в основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 \alpha + (\frac{1}{2} sin \alpha)^2 = 1$$

$$sin^2 \alpha + \frac{1}{4} sin^2 \alpha = 1$$

$$\frac{5}{4} sin^2 \alpha = 1$$

$$sin^2 \alpha = \frac{4}{5}$$

$$sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$

Так как $$\alpha \in (2\pi; 3\pi)$$, это соответствует III координатной четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

Следовательно, $$\sin \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Теперь найдем $$\sqrt{5} \sin \alpha = \sqrt{5} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{5}}) = -2$$

Ответ: -2