4.2. Найдите значение выражения (log5 45 - 1). (1-lo

Для решения этого выражения необходимо воспользоваться свойствами логарифмов.

Преобразуем выражение:

$$(\log_5{45} - 1) \cdot (1 - \log_5{9}) = (\log_5{45} - \log_5{5}) \cdot (\log_5{5} - \log_5{9}) $$

$$ = \log_5{\frac{45}{5}} \cdot \log_5{\frac{5}{9}} = \log_5{9} \cdot \log_5{\frac{5}{9}} = \log_5{9} \cdot (\log_5{5} - \log_5{9}) $$

$$ = \log_5{9} \cdot (1 - \log_5{9}) = \log_5{9} - (\log_5{9})^2 $$

Пусть $$x = \log_5{9}$$, тогда выражение примет вид: $$x - x^2$$

Или же можем представить как:

$$ \log_5{9} - (\log_5{9})^2 = \log_5{9} - \log_5^2{9} = \log_5{9} (1 - \log_5{9})$$

Используя свойства логарифмов, можно заметить, что $$\log_5{9} = \log_5{3^2} = 2\log_5{3}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$(2\log_5{3}) \cdot (1 - 2\log_5{3}) = 2\log_5{3} - 4\log_5^2{3}$$

Первоначальное выражение $$(\log_5{45} - 1) \cdot (1 - \log_5{9}) = (\log_5{\frac{45}{5}}) \cdot (\log_5{\frac{5}{9}}) = \log_5{9} \cdot \log_5{\frac{5}{9}} = \log_5{9} (1 - \log_5{9}) = \log_5{9} - \log_5^2{9}$$

$$ = 2\log_5{3} - 4\log_5^2{3}$$

$$= \log_5{9} - (\log_5{9})^2 $$

Упростить до числового значения без калькулятора невозможно.

Ответ: $$\log_5{9} - (\log_5{9})^2$$ или $$2\log_5{3} - 4\log_5^2{3}$$